Modéliser avec le numérique

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Synthèse du travail mené de janvier 2017 à juin 2018 par le groupe ressource en mathématiques de l’académie Orléans-Tours « modéliser avec le numérique ».

Le contexte

Plusieurs éléments nous ont incité à porter notre regard sur la place de la modélisation dans l’activité mathématique en classe. Parmi eux, on pourra citer le recours à des tâches complexes, le fait que la modélisation est l’une des 6 compétences structurant l’activité mathématique du cycle 2 aux CPGE incluses et le fait que depuis de nombreuses années, une épreuve de modélisation figure au concours de l’Agrégation externe. Enfin, plusieurs groupes IREM se sont emparés du sujet et développent des situations favorisant la démarche de modélisation.

Pour autant, on observe peu d’évolutions dans les pratiques de classe et la place de la modélisation reste trop souvent circonscrite à la mobilisation d’un outil mathématique fourni aux élèves. Le développement des outils numériques, tableur et logiciel de géométrie dynamique en tête, a pu favoriser les changements de cadre (mobilisation d’un outil de type fonction ou algébrique par exemple), mais dans des cas trop souvent explicités pour favoriser une démarche plus largement prise à son compte par les élèves.

Le point de départ du travail du groupe d’enseignants de collège et de lycée réunis autour de cette question a été d’interroger les manuels et d’y articuler les pratiques de classe. Très rapidement, la question de l’articulation entre la compétence représenter et la compétence modéliser est apparue et a pu être formulée en tant que changement de cadre ou changement de registre dans le cas des modélisations intra-mathématiques.

Enfin, la question de la modélisation interroge les représentations enseignantes au regard de l’activité mathématique, question que nous n’avons pas abordée
 

Objectifs

  1. Construire une progressivité dans l’apprentissage de la modélisation qui passe par des activités courtes mais signifiantes. Il s’agira alors d’interroger les situations proposées aux élèves, les supports et les orchestrations.
  2. Repérer les éléments de savoir et les compétences construites lors d’une modélisation afin de rendre efficient le temps didactique passé à cet apprentissage
  3. Aborder la modélisation auprès des élèves en tant qu’outil. Ce sont les gestes de la modélisation qui doivent être enseignés.
  4. Identifier un certain nombre de types de tâches permettant aux enseignants de mieux cerner l’activité de modélisation au sein de la pratique des mathématiques.

Caractérisation de la compétence modéliser

Dans un premier temps, nous nous sommes appuyés sur le schéma ci-contre qui peut être une première représentation de cette compétence, mais les discussions au sein du groupe ont permis d’aborder la modélisation avec une granularité plus fine.


 

  • La représentation mathématique d’une réalité perçue nécessite d’effectuer des choix. Aussi, si certains éléments de la situation réelle sont spontanément écartés, d’autres le sont de manière d’autant plus implicite que le modèle apparaît de manière progressive dans l’esprit de celui qui traite le problème. Il s’agit alors de prélever les éléments que l’on juge pertinents au regard de l’objectif que l’on s’est fixé. Une part importante de ces choix est effectuée a priori durant la recherche d’un modèle premier. Mais la manipulation technique du modèle peut induire de nouveaux choix pouvant remettre en cause le modèle.
  • Le retour des mathématiques vers le réel doit permettre d’interroger les choix précédents et d’enclencher un nouveau processus de modélisation.
  • La frontière entre « Monde réel » et « Monde mathématiques » est poreuse. Par exemple, c’est en fonction de l’outil mathématique visé que l’on relit la réalité. La pratique des mathématiques s’appuie sur nos expériences sensorielles de même que notre perception du monde peut être perçu comme étant déjà mathématisée. Ces deux derniers points très discutables et plus philosophiques ne seront pas pris en compte dans ce groupe de travail.
  • La distinction entre les compétences « représenter » et « modéliser » est, elle aussi, poreuse puisque l’entrée passe par une représentation d’un objet mathématique. Cependant, on admettra que la compétence « représenter » concerne davantage le changement de registre à l’intérieur même des mathématiques.

Points de vigilance

  • La construction d’un modèle, bien que porteuse de sens et permettant de développer les compétences scientifiques, peut donner le sentiment d’une activité chronophage. Il est cependant apparu sur quelques exemples qu’il est possible de travailler la modélisation sur un temps court. Les EPI sont des modalités permettant des modélisations plus complexes.
  • Le professeur peut être mis en difficulté face à un changement de paradigme : un problème n’aboutit pas à une solution unique et établie puisque celle-ci dépend des choix de modélisation. Cela modifie alors les rapports au savoir entre le professeur et les élèves car il n’est alors plus celui qui sait. C’est un élément déstabilisant pour les élèves mais aussi pour les parents dont il faut tenir compte.

Tâches liées à la modélisation

Afin d’atteindre ces quatre objectifs il a été dégagé quatre tâches essentielles liées à la modélisation :

T1 : Interroger le modèle au regard de la situation
Il s’agit d’évaluer la modélisation au regard de la situation réelle en étudiant la pertinence ou la cohérence des résultats obtenus, en estimant le domaine de validité de la modélisation … Il est intéressant de comparer deux modèles dans ce cadre.

T2 : Mobiliser un cadre mathématique permettant de modéliser.
Il s’agit à partir d’une situation réelle de s’engager dans la modélisation en choisissant un cadre mathématique au sens de Douady (dialectique outil/objet).

T3 : Expliciter les choix et les renoncements effectués lors d'une modélisation.
Partant du postulat qu’il n’est pas possible de rendre compte de la réalité dans son intégralité par le langage mathématique, la modélisation implique des choix et donc des renoncements parmi l’ensemble des informations issues du réel. Cette tâche consiste à les expliciter afin de mieux identifier la modélisation. 

T4 : Interroger la pertinence d'une situation décrite dans un problème mathématique.
De nombreux problèmes mathématiques s’appuient sur des situations concrètes souvent construites de manière plus ou moins transparente en fonction du problème mathématique visé. Il s’agit ici, d’interroger la pertinence de cette démarche.
 

Description des ressources

La plupart des activités ou des séquences proposées mobilisent des outils numériques. Ceux-ci permettent souvent de comparer les effets de différents modèles (T1) ou d’engager les élèves dans une démarche de modélisation en s’affranchissant de difficultés mathématiques. Les ressources produites peuvent être très originales dans le sens où les problèmes traités sont éloignés de ce qui peut être effectué en classe mais aussi très classiques avec une adaptation permettant de travailler la modélisation. La durée de mise en œuvre en classe est, elle aussi, variable selon les ressources. Cela peut être une courte activité ou une séquence regroupant plusieurs activités.

Tableau synthétique des activités

Activité Tâches Niveau Numérique Domaine mathématique Description Durée
Percolation T1 Seconde Python Probabilité, Statistiques, Programmation La percolation pour modéliser la propagation d’un incendie de forêt. 2 séances
Propagation d’une population de zombies T3 Seconde, Première Génération de nombres aléatoires à la calculatrice Probabilités Simulation de la propagation d’une population de zombies. 1 séance
Evolution d’une population de zombies T2 Première Tableur Plateforme de partage Suites numériques Modélisation de l’évolution d’une population de zombies avec des suites 1 séance
Estimation du volume d’eau T2 T3 Troisième Seconde Non Géométrie Choix d’un modèle géométrique 35 minutes
La corde T1 T3 Cycle 4, Lycée Tableur Scratch Géométrie Algorithmique Les élèves doivent estimer la longueur d’une corde enroulée sur elle-même 15mn – 30 mn
Beurre T1 T2 T3 Cycle 4 Non Volume d’un solide et proportionnalité Les élèves doivent estimer une masse de beurre. 30 mn
Horizon T2 T3 Troisième Seconde Non Géométrie Choix d’un modèle géométrique permettant de modéliser la distance à l’horizon à partir d’une photo 20 mn
Distances entre trois villes T1 T4 Cycle 4 Logiciel de géométrie dynamique Géométrie Minimiser des distances entre trois points 2 séances
Ventes de vinyles et épidémie de grippe. T3 T4 Première Tableur Probabilités Statistiques Comprendre la modélisation de séries statistiques par une fonction sur des sujets de baccalauréat. 2 heures

Nous tenons à remercier l’ensemble des participants de ce groupe pour la qualité des échanges et du travail effectué.

Manuel Pean  et Laurent Hivon

IA-IPR de mathématiques

 

Les participants

  • Madame Aline Bègue (collège Edouard Herriot – Lucé)
  • Monsieur Rémi Belissens (Collège Béthune Sully – Henrichemont)
  • Monsieur Olivier Créchet (Lycée Margueritte de Navarre – Bourges)
  • Monsieur Julien De Villèle (lycée François Villon – Beaugency)
  • Monsieur Thomas Lenne (lycée en forêt – Montargis)
  • Monsieur Vincent Pantaloni (Lycée Jean Zay – Orléans)
  • Madame Gaëlle Papineau (lycée des métiers et du tourisme du Val de Loire – Blois)
  • Monsieur Dominique Payant (lycée Jacques Monod - Saint jean de Brayes)
  • Monsieur Mathieu Vaidie (lycée Honoré de Balzac - Issoudun)