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Calcul algébrique

Formule

Une formule traduit une relation entre plusieurs grandeurs. C'est une expression qui contient des lettres et les indications des opérations ponant sur les lettres : on dit que c'est une expression algébrique.

Les lettres, appelées variables, peuvent être remplacées par des nombres.

On effectue les opérations entre les nombres en respectant l'ordre de priorité suivant:

1) les opérations entre parenthèses ; 2) les puissances ; 3) les multiplications puis les divisions ; 4) les additions et les soustractions.

Règles usuelles du calcul algébrique

Égalités

On ne change pas une égalité si :

. On ajoute ou en soustrait un même nombre aux deux membres ;

. On multiplie les deux membres par le même nombre non nul ;

. On divise les deux membres par le même nombre non nul.

Développer un produit : (a + b) c = a c + b c ;

. (a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d.

Factoriser une expression

Factoriser une expression c'est transformer une somme de plusieurs termes ayant un facteur commun en un produit de plusieurs facteurs.

A x c + b x c - d x c = c x ( a + b + c)

Produits remarquables

carré d'une somme : (a + b)² = a ² + 2ab + b² ;

carré d'une différence (a - b)² = a ² - 2ab + b² ;

produit d'une somme par une différence : (a + b) (a - b) = a² - b².

Équation du premier degré à une inconnue

Toute équation d'inconnue x pouvant s'écrire, après transformation, sous la forme a x + b = 0 est une équation du premier degré à une inconnue.

Si a # 0, l'équation du premier degré à une inconnue a x + b = 0 admet pour unique solution le nombre - b/a.

Règles de calcul sur les inégalités

	On ne change pas le sens d'une égalité si:
	On ajoute ou en soustrait un même nombre aux deux membres.
	On multiplie ou en divise les deux membres par le même nombre strictement positif
	On change le sens d'une égalité si on multiplia ou en divise les deux membres par le même nombre strictement négatif

 Inéquation du premier degré à une inconnue

Toute inéquation d'inconnue x pouvant s'écrire, après transformation, sous la forme        

a x + b > 0

ou a x + b ³ 0

ou a x + b < 0

ou a x + b £ 0

est une inéquation du premier degré à une inconnue

Pour la résolution il faut appliquer les règles de calcul sur les inégalités (voir ci-dessus)

Résolution d'un problème

Un problème posé par une situation, notamment professionnelle, peut se traduire par une équation ou une inéquation. Pour résoudre un tel problème, il faut traiter les quatre étrapes suivantes :

	choisir une inconnue: c'est en général la question posée
	Établir l'équation ou l'inéquation traduisant la situation.
	Résoudre l'équation ou l'inéquation.
	Vérifier si le résultat est conforme au problème posé.
	Énoncer ce résultat.

Suites proportionnelles - Grandeurs proportionnelles

Une suite de nombres (y₁, y_2, y_3,…y_n) est proportionnelle à une suite de nombres (x₁, x₂, x₃,…x_n) si

Le nombre k est appelé coefficient de proportionnalité.

Deux grandeurs sont proportionnelles si les mesures de chacune d'elles forment

deux suites de nombres proportionnelles.

Suite de rapports égaux

Étant donné une suite de rapports égaux, on obtient un rapport égal à chacun des précédents en prenant pour numérateur la somme des numérateurs et pour dénominateur la somme des dénominateurs :

Fonction linéaire

Étant donné un nombre a, on appelle fonction linéaire la fonction f qui à tout nombre x fait correspondre le nombre a x.

Représentation graphique d'une fonction linéaire

La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant

par l'origine du repère. Le point (0 ; 0)

Monnaie

Chaque État possède sa monnaie propre, avec son unité monétaire.

On peut changer une certaine quantité de monnaie d'un pays contre l'équivalent en monnaie d'un autre pays.

Lors d'une opération de change, la banque perçoit une commission : elle affiche un cours d'achat (le prix auquel elle achète les devises), et un cours de vente

(le prix auquel elle vend les devises).

Les valeurs correspondantes exprimées dans les deux monnaies forment deux suites de nombres proportionnelles.

Indice simple

L'indice simple d'une valeur V₁ à une date t₁ par rapport à la valeur V₀ à une date t₀ (base 100) est le nombre noté It₁/t₀ tel que : It₁/t₀ = (V₁/V₀) x 100.

La suite des valeurs et la suite des indices correspondants forment des suites de nombres proportionnelles.

Notion de fonction

Définition. Notations

Définir une fonction f sur un intervalle [a ; b] c'est donner un procédé qui à chaque valeur x de [a ; b] fait correspondre un nombre noté f(x).

On dit que x a pour image f(x) par la fonction f

Si y = f(x) on dit que x est un antécédent de y par la fonction f.

Représentation graphique

Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ; b], et un repère (0 ; x, y) du plan.

Quand x prend toutes les valeurs de l'intervalle [a ; b], l'ensemble des points M

(x ; f(x)) d'abscisse x et d'ordonnée f(x) forme la courbe représentative de f su l'intervalle [a ; b].

Sens de variation

Soit, f une fonction définie sur un intervalle [a ; b].

Si x et f(.r) varient dans le même sens

(quand. x augmente, f(x) augmente ).

on dit que, f est croissante sur l'intervalle [a ;b].

Si x et f(x) varient en sens contraire (quand x augmente, f(x) diminue), on dit que f est décroissante sur l'intervalle [a ; b].

Si f(x) garde la même valeur pour toutes les valeurs de x on dit que f est constante sur l'intervalle [a ; b].

Séries chronologiques

Une série chronologique présente l'évolution d'un phénomène dans le temps. Elle peut se représenter à l'aide d'un diagramme cartésien ou d'un diagramme polaire.

Fonction affine

Les nombres a et b étant donnés, on appelle fonction affine la fonction f qui, à tout nombre x, fait correspondre le nombre a x + b.

Sens de variation

La fonction affine f telle que f(x) = a x + b est croissante si a > 0, décroissante si a < 0.

Représentation graphique

La représentation graphique de la fonction affine f telle que :

f(x) = a x +b est une droite.

Le nombre a est le coefficient directeur de la droite.

Suite arithmétique

On appelle suite arithmétique une suite de nombres tels que chacun d'eux, à partir du deuxième, est égal au précédent augmenté d'un nombre constant appelé

raison de la suite.

Généralement, les termes de la suite sont notés : u ₁, u ₂, u ₃, ..., u _n, ...

Le terme u _n de rang n est égal au précédent u _n-1 augmenté de la raison r :

u _n = u_n-1 + r

Suite arithmétique : terme de rang n

Dans une suite arithmétique de premier terme u 1

et de raison r, le terme de rang n est obtenu par la relation : u _n = u ₁ + (n - 1) r

Formation des prix

Les calculs de formation des prix nécessitent la compréhension et la connaissance du tableau suivant :

Prix d'achat brut hors taxes P_AB

Prix d'achat net P _AN

Coût d'achat C_A

Coût de revient C_R

Prix de vente hors taxes P_VHT

Prix de vente taxes comprises P_VTC

P_{AB     --------->}      P _{AN  ------------>}     C_{A   ---------->}    C_{R  -------------->}     P_{VHT ------------->}     P_VTC

 -R_N               +F_A              +F_D                  +R_T                     +TVA

R_N Réduction

F_A Frais d'achat

F_D Frais de distribution ou de vente

R_T Résultat (qui peut être un bénéfice ou un déficit )

TVA Taxe sur la valeur ajouté soit de 20,6 % ou 5,5 %

Dans le schémas précédent on peut calculer directement le P_VHT à partir du C_A par l'intermédiaire de la marge brute M_B ou du taux de marque T_M

P_{VHT =} C_A + M_B

M_B = T_M x P_VHT

La suite des opérations se ramène pratiquement dans tous les cas à un calcul de pourcentages.

Les techniques à employer pour compléter une facture sont les techniques simples de calculs de pourcentages ou de proportions.

On peut rappeler que, si le prix d'un produit P1 subit un baisse   de t % le nouveau  prix est :

P2 = P1 x ( 1- t %)

De  même, si le prix d'un produit P1 subit un augmentation   de t % le nouveau  prix est :

P2 = P1 x ( 1 + t %)

Taux d'intérêt

L'intérêt annuel est proportionnel au capital prêté ou emprunté.

Le taux annuel d'intérêt est un pourcentage qui, appliqué au capital, donne l'intérêt annuel.

Rappelons que le taux t peut s'écrire de différentes façons

Prenons un exemple

t = 4,5 % cette écriture ne doit en aucun cas apparaître dans un calcul il faut utiliser plutôt soit t = 4,5/100

ou t = 0,045

 Calcul de l'intérêt

Pour un capital C, placé au taux périodique t, pendant n périodes, l'intérêt I s'écrit :

I = C x t x n.

En fonction de l' unité de la durée cette formule doit être utiliser avec précaution prenons l'exemple ou t = 4,5 %

Si la durée n est exprimée en jour alors

Si la durée n est exprimée en mois alors

Si la durée n est exprimée en quinzaine

Si la durée n est exprimée en trimestres alors

Représentation graphique de l'intérêt

L'intérêt est une fonction linéaire du temps.

Valeur acquise

On appelle valeur acquise par un capital, la somme du capital placé et des intérêts qu'il a produits pendant la durée du placement.

A = C + C x t x n.

Représentation graphique de la valeur acquise

La valeur acquise par un capital placé à intérêts simples est une fonction affine du temps.

Taux moyen de plusieurs placements

Le taux moyen de plusieurs placements est le taux unique auquel il aurait fallu placer les capitaux correspondants, pendant les mêmes durées, pour obtenir le même intérêt total.

Escompte. Valeur actuelle

L'escompte bancaire E est égal à l'intérêt, calculé sur la valeur nominale C d'un effet de commerce, pour la durée n séparant la date de négociation de la date d'échéance.

E=C x t x n

En fonction de l' unité de la durée cette formule doit être utiliser avec précaution prenons l'exemple ou t = 4,5 %

Si n est exprimer jour alors

Si n est exprimer mois alors

Si n est exprimer quinzaine

Si la durée n est exprimée en trimestres alors

La valeur actuelle est égale à la valeur nominale diminuée de l'escompte.

Va = Vn - E

Agio

L'agio est la retenue totale effectuée par la banque lors de la négociation d'un effet de commerce. Il comprend l'escompte et diverses commissions. L'agio taxe comprise comprend la TVA qui se calcule sur certaines commissions.

On distingue deux types de commissions :

Commission proportionnelle à la valeur nominale (pas de TVA)

Commissions fixes sur lesquelles on applique la TVA

Taux réel d'escompte

Le taux réel d'escompte est le taux unique qu'il faudrait appliquer à la valeur nominale de l'effet pour obtenir le montant total de l'agio.

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